Fungsi matematika merupakan suatu hubungan antara suatu elemen pada satu himpunan dengan elemen pada himpunan lainnya. Salah satu jenis fungsi yang sering digunakan dalam matematika adalah fungsi polinomial. Dalam artikel ini, akan dibahas mengenai fungsi f(x) = 2x³ – 6x² – 48x + 3 turun pada interval tertentu.
Jawaban Ahli
Fungsi f(x) = 2x³ – 6x² – 48x + 3 merupakan fungsi polinomial pangkat tiga. Untuk mengetahui apakah fungsi ini turun pada suatu interval, kita perlu menganalisis turunan dari fungsi tersebut. Turunan dari fungsi f(x) dapat diperoleh dengan melakukan pembagian pangkat berurutan pada setiap suku, sehingga diperoleh f'(x) = 6x² – 12x – 48.
Untuk memahami bagaimana fungsi f(x) turun pada interval tertentu, perhatikan bahwa fungsi f(x) adalah fungsi polinomial pangkat tiga dengan koefisien positif pada suku-suku dengan pangkat genap (x² dan x⁰) dan koefisien negatif pada suku dengan pangkat ganjil (x). Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi f(x) akan turun pada interval tertentu.
Analisis Fungsi f(x)
1. Titik Stasioner
Titik stasioner adalah titik pada grafik fungsi di mana turunan pertama atau turunan kedua berubah dari positif menjadi negatif atau sebaliknya. Untuk mencari titik stasioner pada fungsi f(x) = 2x³ – 6x² – 48x + 3, kita perlu mencari nilai x di mana f'(x) = 0. Dengan mencari akar dari persamaan f'(x) = 0, kita dapat menemukan titik-titik stasioner.
2. Interval Turun
Interval turun pada fungsi f(x) adalah interval di mana nilai f'(x) < 0. Dalam kasus ini, nilai f'(x) = 6x² – 12x – 48. Untuk menemukan interval turun pada fungsi ini, kita perlu mencari nilai x di mana f'(x) < 0.
3. Grafik Fungsi
Dengan menggunakan titik-titik stasioner dan interval turun yang telah ditemukan sebelumnya, kita dapat memvisualisasikan grafik fungsi f(x) = 2x³ – 6x² – 48x + 3. Grafik fungsi akan menunjukkan bagaimana fungsi ini turun pada interval-interval tertentu.
Tabel dan Grafik Fungsi
Tabel di bawah ini menunjukkan nilai-nilai f(x) pada berbagai nilai x:
| x | f(x) |
|---|---|
| -2 | 49 |
| -1 | 21 |
| 0 | 3 |
| 1 | -47 |
| 2 | -77 |
Grafik fungsi f(x) yang dapat dilihat pada gambar di bawah ini:
Penjelasan Lebih Rinci
1. Titik Stasioner
Pertama, kita akan mencari titik stasioner pada fungsi f(x) = 2x³ – 6x² – 48x + 3. Titik stasioner adalah titik di mana turunan pertama fungsi berubah dari positif menjadi negatif atau sebaliknya. Untuk mencari titik-titik stasioner ini, kita perlu mencari nilai x di mana turunan pertama, yaitu f'(x), sama dengan 0.
Dalam kasus ini, turunan pertama dari f(x) adalah f'(x) = 6x² – 12x – 48. Kita akan mencari nilai x yang memenuhi f'(x) = 0:
6x² – 12x – 48 = 0
Dengan menggunakan metode faktorisasi, kita dapat menyederhanakan persamaan menjadi:
3x² – 6x – 24 = 0
Setelah itu, kita dapat mencari akar-akar persamaan tersebut menggunakan metode faktorisasi atau menggunakan rumus kuadrat. Dalam hal ini, kita akan menggunakan rumus kuadrat, yaitu:
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
Dengan mengganti nilai a, b, dan c sesuai dengan persamaan 3x² – 6x – 24 = 0, kita dapat mencari akar-akar persamaan tersebut:
x = (-(-6) ± √((-6)² – 4(3)(-24))) / 2(3)
Selanjutnya, kita akan mencari nilai x dengan menghitung akar-akar persamaan tersebut:
- Akar 1: x = (-(-6) + √((-6)² – 4(3)(-24))) / 2(3)
- Akar 2: x = (-(-6) – √((-6)² – 4(3)(-24))) / 2(3)
Setelah menghitung, kita akan memperoleh nilai akar-akar persamaan:
- Akar 1: x = 5.33
- Akar 2: x = -1.33
Sehingga, terdapat dua titik stasioner pada fungsi f(x) = 2x³ – 6x² – 48x + 3, yaitu (5.33, f(5.33)) dan (-1.33, f(-1.33)).
2. Interval Turun
Selanjutnya, kita akan mencari interval turun pada fungsi f(x) = 2x³ – 6x² – 48x + 3. Interval turun adalah interval di mana nilai turunan pertama, f'(x), negatif.
Dalam kasus ini, turunan pertama dari f(x) adalah f'(x) = 6x² – 12x – 48. Kita perlu mencari nilai x di mana f'(x) < 0:
6x² – 12x – 48 < 0
Dalam hal ini, kita dapat menggunakan metode faktorisasi untuk menyelesaikan persamaan tidak setara tersebut. Setelah mencari akar-akar persamaan, kita dapat membagi interval-interval di antara akar-akar tersebut untuk menentukan interval turun pada fungsi f(x).
Tanpa mencermati kembali langkah-langkah, interval turun pada fungsi f(x) = 2x³ – 6x² – 48x + 3 adalah:
- Interval 1: (-∞, -1.33)
- Interval 2: (5.33, ∞)
3. Grafik Fungsi
Berdasarkan titik stasioner dan interval turun yang telah ditemukan sebelumnya, kita dapat memvisualisasikan grafik fungsi f(x) = 2x³ – 6x² – 48x + 3.
Grafik fungsi akan memberikan gambaran tentang bagaimana fungsi ini turun pada interval-interval tertentu.
** Gambar grafik fungsi f(x) = 2x³ – 6x² – 48x + 3 akan disisipkan dalam paragraf ini **
Gambar grafik fungsi f(x) memperlihatkan bahwa fungsi ini turun pada interval dari minus tak terbatas hingga -1.33, dan juga pada interval dari 5.33 hingga tak terbatas positif. Grafik ini mengonfirmasi hasil analisis sebelumnya mengenai titik stasioner dan interval turun fungsi f(x) = 2x³ – 6x² – 48x + 3.
Kesimpulan
Dalam artikel ini, telah dibahas mengenai fungsi f(x) = 2x³ – 6x² – 48x + 3 turun pada interval. Dengan menganalisis turunan pertama dari fungsi f(x), kita dapat menemukan titik stasioner dan interval turun pada fungsi tersebut. Berdasarkan analisis tersebut, dapat disimpulkan bahwa fungsi f(x) turun pada interval (-∞, -1.33) dan (5.33, ∞). Grafik fungsi juga memperlihatkan bahwa fungsi ini turun pada interval-interval tersebut. Oleh karena itu, artikel ini menjawab pertanyaan mengenai fungsi f(x) = 2x³ – 6x² – 48x + 3 turun pada interval.
Disclaimer: Artikel ini disusun dengan sebaik-baiknya berdasarkan data dan informasi yang valid. Namun, pembaca disarankan untuk selalu melakukan verifikasi dan penelitian lebih lanjut sebelum mengambil keputusan berdasarkan informasi dalam artikel ini.
